Дан треугольник ABC, в котором AC=6. Медиана BM перпендикулярна биссектрисе AL. Найдите AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку медиана BM перпендикулярна биссектрисе AL, то треугольник ABC является прямоугольным.

Пусть AL=x, тогда BL=6-x (так как AC=6)

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике получим:

AB^2 = AL^2 + BL^2 = x^2 + (6-x)^2

AB^2 = x^2 + 36 - 12x + x^2

AB^2 = 2x^2 - 12x + 36

Для нахождения значения x воспользуемся тем, что в треугольнике AMB медиана делит сторону AC пополам, т.е. AM=MC=3

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то можем написать, что BM является половиной гипотенузы AC, так как треугольники AMB и BMC подобны.

Тогда получим:

BM = AC/2 = 6/2 = 3

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABM получим:

AB^2 = AM^2 + BM^2 = 3^2 + 3^2 = 18

AB = √18 = 3√2