Найти расстояние между прямыми {2x+2y−z−10=0 x−y−z−22=0
и x+7/3=y−5/−1=z−9/4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала нам нужно найти векторы направляющие прямых.

Прямая 1:
2x + 2y − z − 10 = 0
Нормальный вектор этой прямой будет (2, 2, -1).

Прямая 2:
x − y − z − 22 = 0
Нормальный вектор этой прямой будет (1, -1, -1).

Теперь найдем вектор направляющего вектора для прямой, заданной уравнением:
x + 7/3 = y − 5/−1 = z − 9/4
Так как в данном уравнении знаменатель для всех координатных осей равен 1, то направляющий вектор этих прямых будет <3, -1, 4>.

Теперь найдем расстояние между первыми двумя прямыми. Их нормальные векторы уже есть, поэтому можно воспользоваться формулой для расстояния между двумя параллельными прямыми:
d = |(a1, b1, c1) * (a2, b2, c2)| / √(a1^2 + b1^2 + c1^2)
где (a1, b1, c1) и (a2, b2, c2) - нормальные векторы прямых.

Вычислим:
d = |(2, 2, -1) * (1, -1, -1)| / √(2^2 + 2^2 + (-1)^2)
d = |(4 - 2 - 1)| / √(4 + 4 + 1)
d = |1| / √9 = 1 / 3 = 1/3

Теперь найдем расстояние от третьей прямой до первой. Для этого найдем точку, принадлежащую третьей прямой и кратчайшее расстояние от этой точки до первой прямой.

Для этого подставим координаты точки в уравнение прямой:
x = 7
y = 17/3
z = 37/4

Точка (7, 17/3, 37/4) принадлежит третьей прямой.

Теперь найдем выражение для расстояния от прямой до точки:
d = |(7, 17/3, 37/4) * (2, 2, -1) - 10| / √(2^2 + 2^2 + (-1)^2)
d = |(14 + 34/3 - 37/4 - 10)| / √(4 + 4 + 1)
d = |-10/3| / √9 = 10/3 / 3 = 10/9

Таким образом, расстояние между прямыми {2x+2y−z−10=0, x−y−z−22=0} и прямой {x+7/3=y−5/−1=z−9/4} равно 1/3, а расстояние от третьей прямой до первой равно 10/9.