Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АBC пересекает прямую BC в точке E. Оказалось, что ВЕ=12, а 2/3 ВС=АЕ.Чему равна длина отрезка АЕ ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, тогда по теореме о касательной и хорде угол AOC = 90 градусов, так как угол между касательной и радиусом перпендикулярен. Поскольку AE = 2/3 AC и AE + EC = AC, то EC = 1/3 AC. В треугольнике AOE угол AOE = 90 градусов, поэтому треугольник AOE - прямоугольный. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику AOE: AO^2 = AE^2 + EO^2. Но AO равен радиусу описанной окружности, поэтому радиус равен 12 (по условию). EO = EC = 1/3 AC = 1/3 (AE + EC) = 1/3 AE + 1/3 EC = 1/3 AE + 1/9 AC. Таким образом, AO^2 = AE^2 + (1/3 AE + 1/9 AC)^2 = AE^2 + (1/3 AE + 1/9 AE) ^2 = AE^2 + (4/9 AE)^2 = AE^2 + 16/81 AE^2 = 97/81 AE^2 = 144. Отсюда получаем AE = 12 √(81/97) = 12 * 9 / √97 = 108 / √97.