Про числа х и у известно, что (x+1)(y+2)=8. Докажите, что (xy−10)^2⩾64, если х и у - действительные числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим выражение (xy - 10)^2 = x^2y^2 - 20xy + 100.

Мы знаем, что (x+1)(y+2) = 8, раскроем скобки и получим уравнение x*y + 2x + y + 2 = 8, т.е. xy + 2x + y = 6.

Теперь рассмотрим выражение (xy - 10)^2 = x^2y^2 - 20xy + 100 = (xy - 10)(xy - 10) = (xy)^2 - 10(xy) - 10(xy) + 100 = (xy)^2 - 20(xy) + 100 = (xy)^2 - 20(xy + 2x + y - 6) + 100 = (xy)^2 - 20(6) + 100 = (xy)^2 - 206 + 100 = (xy)^2 - 20xy = (xy)^2 - 20xy.

С учетом выражения xy + 2x + y = 6, окончательно получаем (xy - 10)^2 = (xy)^2 - 20xy = (xy - 10)(xy + 10), то есть (xy - 10)^2 = 8(xy + 10).

Далее подставляем выражение (xy + 10) в выражение (xy - 10)^2, получаем (xy - 10)^2 = 8(6 + 20) = 826 = 208.

Таким образом, мы доказали, что (xy - 10)^2 ⩾ 64, если x и y - действительные числа.