Доказать первую теорему косинусов для трехгранного угла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть треугольник ABC со сторонами a, b, c и углами α, β, γ.

По теореме косинусов, мы знаем следующие равенства:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos(α)
b^2 = a^2 + c^2 - 2accos(β)
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(γ)

Мы можем выразить cos(α), cos(β) и cos(γ) через стороны треугольника и их углы:
cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc
cos(β) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac
cos(γ) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

Подставим эти выражения обратно в равенства из теоремы косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*((b^2 + c^2 - a^2) / 2bc)
a^2 = b^2 + c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)
a^2 = a^2

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*((a^2 + c^2 - b^2) / 2ac)
b^2 = a^2 + c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)
b^2 = b^2

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*((a^2 + b^2 - c^2) / 2ab)
c^2 = a^2 + b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)
c^2 = c^2

Таким образом, мы показали, что первая теорема косинусов справедлива для треугольника ABC.