Геометрия 1 курс, векторы Даны три вектора а{1;2;-1), b{2;-2;-1},с{1;1;1}. Найдите координаты вектора n, зная, что | n |= 19, вектор n компланарен векторам а и b, перпендикулярен вектору с и направлен так, что упорядоченные тройки векторов а, b, с и а, d ,с имеют противоположную ориентацию

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем вектор n:

Так как |n| = 19, то можно записать |n| = sqrt(n1^2 + n2^2 + n3^2) = 19
n1^2 + n2^2 + n3^2 = 19^2 = 361

Также из условия задачи известно, что вектор n компланарен векторам a и b, а также перпендикулярен вектору c. Это значит, что скалярное произведение н с n равно нулю:

n11 + n21 + n3*1 = 0
n1 + n2 + n3 = 0

Теперь зная, что упорядоченные тройки векторов a, b, c и a, n, c имеют противоположную ориентацию, можем записать определитель матрицы из этих трех векторов равным отрицательному определителю матрицы из a, b, n:

det[a b c] = -det[a b n]

Матрицы векторов a, b, c и a, b, n выглядят так:

|1 2 1|
|2 -2 1|
|-1 -1 1| и |1 2 n1|
|2 -2 n2|
|-1 -1 n3|

Вычислим определители:

det[a b c] = 1(-21 + 1(-1)) - 2(21 - 1(-1)) + 1(2(-1) - (-2)(-1)) = 1 + 6 + 0 = 7
det[a b n] = 1(-2n3 + n2) - 2(2n3 - n1) + 1(2n2 - (-2)n1) = n1 + 2n2 + n3

7 = -det[a b n]
7 = -(n1 + 2n2 + n3)

Таким образом, мы получаем систему уравнений:
n1 + n2 + n3 = 0 (1)
n1 + 2n2 + n3 = -7 (2)
n1^2 + n2^2 + n3^2 = 361 (3)

Из уравнений (1) и (2), выразим n1 и n3 через n2:
n1 = -7 - 2n2
n3 = 7 - n2

Подставим значения n1 и n3 в уравнение (3):
(-7 - 2n2)^2 + n2^2 + (7 - n2)^2 = 361
49 + 28n2 + 4n2^2 + n2^2 + 49 + 14n2 + n2^2 = 361
6n2^2 + 42n2 + 98 = 361
6n2^2 + 42n2 - 263 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем значение n2. Подставив его в формулы для n1 и n3, найдем n1 и n3. Таким образом, мы найдем координаты вектора n.