Найти координаты точки, симметричной точке А = (3,0,4) относительно прямой, проходящей через точки B = (1, 1, 2) и С = (2, -1,3).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и C. Это можно сделать с помощью параметрического уравнения прямой, которое выглядит следующим образом:

x = x1 + a
y = y1 + b
z = z1 + ct

где (x1, y1, z1) - координаты точки B, а, b, c - параметры, t - параметр.

Подставляя координаты точек B и C, получаем систему уравнений:

1 + at =
1 + bt =
2 + c*t = z

2 - 1 = at -
-1 -1 = bt -
3 - 2 = c*t - z

1 = at -
-2 = bt +
1 = c*t - 2

Теперь найдем параметры a, b, c, решив данную систему уравнений.

a = 2, b = -2, c = 1

Теперь найдем уравнение прямой:

x = 1 + 2
y = 1 - 2
z = 2 + t

Теперь найдем проекцию точки А на прямую, используя формулу:

A' = D + k((A-D)n)/(|n|^2)n

где A - координаты точки А, D - координаты произвольной точки лежащей на прямой, n - направляющий вектор прямой, k - длина вектора

Принимая D = (1, 1, 2),

n = {2, -2, 1}, k = |AD| / |n| = (sqrt(5) / sqrt(9)) = sqrt(5) / 3.

Тогда точка A' будет равна

(1, 1, 2) + (sqrt(5)/3)(((3, 0, 4)-(1,1,2))({2, -2, 1})/(7)({2, -2, 1}))

= (1, 1, 2) + (sqrt(5) / 3)(23 - 2 - 8) / 7)({2, -2, 1})

= (1, 1, 2) + (sqrt(5) / 3)(2/7)(2, -2, 1)

= (1, 1, 2) + (sqrt(5) / 3)(4/7, -4/7, 2/7)

= (1 + 4sqrt(5) / 21, 1 - 4sqrt(5) / 21, 2 + 2sqrt(5) / 21)

Таким образом, координаты искомой точки A' равны (1 + 4sqrt(5) / 21, 1 - 4sqrt(5) / 21, 2 + 2sqrt(5) / 21)