Задачка по математике НОД(a;b;c) = 1, при этом 1/a = 1/b + 1/c. Докажите, что abc квадрат натурального числа

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: НОД(a;b;c) = 1, 1/a = 1/b + 1/c.

Из уравнения 1/a = 1/b + 1/c получаем:

a = bc/(b+c).

Используем данное нам условие, что НОД(a;b;c) = 1. Это означает, что ни одно из чисел a, b, c не делится нацело на какое-либо другое натуральное число, кроме 1. Так как a = bc/(b+c), то b+c не делится на b и не делится на c, следовательно b и c не делятся нацело друг на друга. То же самое верно и для пары (a,c), (a,b).

Предположим, что abc - не квадрат. Пусть p - минимальное простое число, являющееся делителем числа abc. Поскольку НОД(a,b,c) = 1, то ни одно из чисел b и c не делится нацело на p. Таким образом, a делится на p, т.е. p является делителем a.

Так как a = bc/(b+c), то a делится на b и на c. Таким образом, a делится на b+c и p делит b+c.

Но тогда p также является делителем a, что противоречит ранее полученному.

Следовательно, abc - квадрат натурального числа.