Решить вышмат, формула тейлера

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи с использованием формулы Тейлора необходимо знать функцию, для которой необходимо найти приближенное значение, точку разложения Тейлора (обычно в окрестности которой происходит разложение) и порядок разложения.

Формула Тейлора для функции ( f(x) ) в окрестности точки ( a ) выглядит следующим образом:

[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2} + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3} + ... ]

где ( f^{(n)}(a) ) - n-я производная функции ( f(x) ) в точке ( a ).

После раскрытия формулы Тейлора можно найти приближенное значение функции в нужной точке.

Например, если нужно найти значение функции ( \sin(x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{6} ) до второго порядка, то можно воспользоваться формулой Тейлора:

[ \sin(x) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) (x - \frac{\pi}{6}) - \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2}(x - \frac{\pi}{6})^{2} ]

[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} ]

Подставляя значения, получаем:

[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) ≈ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} \left(x - \frac{\pi}{6}\right)^{2} ]

Таким образом, по формуле Тейлора можем найти приближенное значение функции в нужной точке.