На прямой отмечена одна красная точка и шесть синих. Расстояние между каждыми двумя отмеченными точками равно целому числу сантиметров. При этом сумма расстояний от красной точки до синих равна 14 см. Найдите наибольшее возможное расстояние между двумя синими точками.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть синие точки обозначены как A, B, C, D, E и F, а красная точка обозначена как R. Тогда расстояния от красной точки до синих точек могут быть обозначены как AR, BR, CR, DR, ER и FR.

Рассмотрим сумму всех расстояний от красной точки до синих точек:
AR + BR + CR + DR + ER + FR = 14

Так как расстояние между любыми двумя синими точками равно целому числу сантиметров, то можно заметить, что расстояние между двумя любыми синими точками равно половине от суммы всех расстояний от красной точки до синих:
AB + AC + AD + AE + AF + BC + BD + BE + BF + CD + CE + CF + DE + DF + EF = 14/2 = 7

Теперь рассмотрим сумму квадратов всех расстояний между синими точками:
(AB)^2 + (AC)^2 + ... + (EF)^2

Это равенство также можно представить как:
2(AB^2 + AC^2 + ... + EF^2) = (AB + AC + ... + EF)^2 - (AB^2 + AC^2 + ... + EF^2) = 7^2 - 7 = 42

Таким образом, мы получили, что сумма квадратов всех расстояний между синими точками равна 42. Чтобы максимизировать значение, нужно максимизировать сумму квадратов. Это достигается, когда все расстояния между синими точками равны 2 см.

Итак, наибольшее возможное расстояние между двумя синими точками равно 2 см.