Тридцать три богатыря устроили пир за круглым столом. Среди них есть бородатые и безбородые. Назовём богатырей, сидящих рядом с некоторым богатырём, его соседями, сидящих через одного от него – вторыми соседями, сидящих через двух – третьими и так далее. Оказалось, что для каждого бородатого богатыря ровно у одного из его вторых соседей и ровно у одного из его четвёртых соседей тоже есть бороды. Сколько богатырей бородаты?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что всего бородатых богатырей x. Тогда все остальные (не бородатые) будут равны 33 - x.

У каждого бородатого богатыря ровно у одного из его вторых соседей есть борода, то есть у (33 - x)/2 не бородатых богатырей есть борода. Так как это число должно быть целым, то (33 - x) должно быть четным, то есть x должно быть нечетным.

Подставим x = 1, 3, 5, ... , 31 и найдем число не бородатых богатырей у которых есть борода: 16, 15, 14, ... , 1.

Таким образом, 1 бородатый богатырь, 15 не бородатых богатырей, 1 бородатый богатырь, 14 не бородатых богатырей, 1 бородатый богатырь, 13 не бородатых богатырей и так далее удовлетворяют условиям задачи.

Следовательно, всего есть 17 бородатых богатырей.