Определить многочлены P(X) степени II и Q(x) степени I такие, что (X^2-1) * P(X) + X^3 * Q(x) = X^3 + 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки по формуле дистрибутивности:

(X^2-1) P(X) = X^2 P(X) - P(X)
X^3 Q(X) = X^3 Q(X)

Теперь подставим обратно в уравнение:

X^2 P(X) - P(X) + X^3 Q(X) = X^3 + 1

Так как оба многочлена имеют конкретную степень, то есть:

P(X) = aX + b
Q(X) = cX + d

Подставляем в уравнение и раскрываем скобки:

X^2 (aX + b) - (aX + b) + X^3 (cX + d) = X^3 + 1
aX^3 + bX^2 - aX - b + cX^4 + dX^3 = X^3 + 1

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях X:

c = 1
d = 0
a + c = 0
b + 1 = 1

Решаем систему уравнений:

c = 1
d = 0
a = -c = -1
b = 0

Подставляем найденные значения обратно:

P(X) = -X
Q(X) = X

Таким образом, многочлены P(X) = -X и Q(X) = X удовлетворяют уравнению (X^2-1) P(X) + X^3 Q(x) = X^3 + 1.