Ряды Фурье. Доказать, что для любых k функции f(pi-x)=-f(x) на отрезке [0, pi] следует a(2k)=0, b(2k-1)=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, разложим функцию f(x) в ряд Фурье на отрезке [0, pi]:

f(x) = a0/2 + Σ(a_n cos(nx) + b_n sin(nx))

где a0/2 - среднее значение функции на отрезке, a_n и b_n - коэффициенты ряда Фурье.

Так как f(x) = f(pi - x), то подставим pi - x в ряд Фурье для f(x):

f(pi - x) = a0/2 + Σ(a_n cos(n(pi - x)) + b_n sin(n(pi - x)))
= a0/2 + Σ(a_n cos(npi - nx) - b_n sin(nx))
= a0/2 + Σ(a_n (-1)^n cos(nx) - b_n * sin(nx))

Так как f(pi - x) = -f(x), то мы получаем:

a_n * (-1)^n = -a_n
b_n = -b_n

Из данного условия следует, что a_n = 0 для всех нечетных n (n = 2k-1), а b_n = 0 для всех четных n (n = 2k).

Таким образом, мы доказали, что если для функции f(x) выполняется условие f(pi - x) = -f(x) на отрезке [0, pi], то коэффициенты a(2k) равны нулю для всех k, а коэффициенты b(2k-1) также равны нулю для всех k.