Как доказать неравенство (a+b)(2/a+3/b)>=24

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы доказать это неравенство, можно использовать неравенство Коши-Буняковского (или теорему о средних), которое гласит: для любых положительных чисел a, b и x, y выполняется неравенство:

(ax + by)^2 >= (a^2 + b^2)*(x^2 + y^2)

Применяя это неравенство к (a+b)(2/a+3/b), получим:

(a+b)(2/a+3/b) = 2 + 3 + 2(b/a) + 3(a/b) = 5 + 2(b/a) + 3(a/b)

Применяя неравенство Коши-Буняковского к выражению 2(b/a) + 3(a/b) и используя a и b в качестве x и y, получаем:

(2(b/a) + 3(a/b))^2 >= (2^2 + 3^2)(b^2/a^2 + a^2/b^2) = 13(b^2/a^2 + a^2/b^2)

Теперь проверим неравенство:

(2(b/a) + 3(a/b))^2 = (2b/a + 3a/b)^2 = (2b^2/a^2 + 6 + 9a^2/b^2) >= 13*(b^2/a^2 + a^2/b^2)

2b^2/a^2 + 6 + 9a^2/b^2 >= 13*(b^2/a^2 + a^2/b^2)

6 >= 11*(b^2/a^2 + a^2/b^2)

6/11 >= b^2/a^2 + a^2/b^2

Таким образом, раскрытое неравенство (a+b)(2/a+3/b)>=24 доказано.