Задача по геометрии Дан произвольный треугольник АВС. В этом треугольнике проведены все срелние линии они образовали треугольник MNP . Найдите отношение площадей этих треугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Отношение площадей треугольников MNP и ABC равно 1:4.

Это можно легко доказать, используя соотношения в треугольниках.

Пусть точка M лежит на стороне AB и делит её в отношении k:(1-k), точка N лежит на стороне BC и делит её в отношении l:(1-l), а точка P лежит на стороне AC и делит её в отношении m:(1-m).

Тогда площади треугольников MNP и ABC будут соответственно:

S(MNP) = S(ABC) kl*m

S(ABC) = S(MNP) / (klm)

Известно, что отрезки, соединяющие вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, делятся пополам. Следовательно, k=l=m=1/2.

Таким образом, отношение площадей треугольников MNP и ABC равно 1:4.