Все члены геометрической прогрессии положительны. Найдите сумму первых восьми ее членов, если известно, что b₂=64 и b₆=4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что b₂ = a q и b₆ = a q^5, где a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Тогда из условия b₂ = 64 получаем a q = 64,
а из условия b₆ = 4 получаем a q^5 = 4.

Теперь найдем значение a и q. Разделим уравнения: 64/q = 4/q^5, откуда получаем q^4 = 16 => q = 2.
Подставляем q в первое уравнение: a * 2 = 64 => a = 32.

Теперь найдем сумму восьми членов прогрессии. Обозначим ее S₈.
S₈ = a + aq + aq² + ... + aq^7 = a * (1 + q + q² + ... + q^7).
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна: S = a / (1 - q).

Теперь можем найти сумму первых восьми членов:
S₈ = 32 / (1 - 2) (1 - 2^8) = 32 / (-1) (1 - 256) = -32 * (-255) = 8160.

Итак, сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии равна 8160.