Докажите тождество cos^4a-sin^4a=1-2sin^2a

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что:

cos^2a - sin^2a = 1 (1)

cos^2a + sin^2a = 1 (2)

Умножим обе части уравнения (1) на cos^2a и (2) на sin^2a:

cos^4a - sin^2a*cos^2a = cos^2a (3)

cos^2a*sin^2a + sin^4a = sin^2a (4)

Теперь сложим уравнения (3) и (4):

cos^4a - sin^2acos^2a + cos^2asin^2a + sin^4a = cos^2a + sin^2a

cos^4a + sin^4a = cos^2a + sin^2a

cos^4a + sin^4a = 1

Таким образом, доказано тождество cos^4a - sin^4a = 1.

Теперь заменим sin^4a в исходном тождестве:

cos^4a - sin^4a = 1

cos^4a - (1 - cos^4a) = 1

cos^4a - 1 + cos^4a = 1

2cos^4a - 1 = 1

2cos^4a = 2

cos^4a = 1

Отсюда выводим, что cos^4a = 1, что и требовалось доказать.