Геометрия, векторы, координаты точек Даны координаты вершин треугольника ABC A(0; 3 ), B(5; 0 ), C(7; 6). Найдите уравнения высот AK и BH, координаты точки D пересечения высот треугольника ABC, длину высот AK и BH
Заранее спасибо

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем уравнение прямой, содержащей сторону BC треугольника ABC. Уравнение этой прямой можно найти используя уравнение прямой через две точки (уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2) имеет вид y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1)):

Уравнение прямой BC: y - 0 = (6 - 0)/(7 - 5) * (x - 5)
Уравнение прямой BC: y = 3x - 15

Так как высота AK перпендикулярна стороне BC, то ее коэффициент наклона равен -1/3. Также высота проходит через точку A(0; 3). Теперь можем найти уравнение высоты AK:

Уравнение высоты AK: y - 3 = -1/3 * (x - 0)
Уравнение высоты AK: y = -1/3x + 3

Аналогично, найдем уравнение прямой, содержащей сторону AC треугольника ABC:

Уравнение прямой AC: y - 3 = (6 - 3)/(7 - 0) * (x - 0)
Уравнение прямой AC: y = 3/7x + 3

Так как высота BH перпендикулярна стороне AC, то ее коэффициент наклона равен -7/3. Также высота проходит через точку B(5; 0). Теперь можем найти уравнение высоты BH:

Уравнение высоты BH: y - 0 = -7/3 * (x - 5)
Уравнение высоты BH: y = -7/3x + 35/3

Точка D - точка пересечения высот AK и BH. Решим систему уравнений уравнений высот AK и BH:

y = -1/3x + 3
y = -7/3x + 35/3

-1/3x + 3 = -7/3x + 35/3
4x = 32
x = 8

Подставляем x обратно в уравнение высоты AK:
y = -1/3 * 8 + 3
y = -8/3 + 3
y = 1/3

Таким образом, координаты точки D (8; 1/3).

Для нахождения длины высот AK и BH, можем воспользоваться формулой длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

Для AK:
√((0 - 8)^2 + (3 - 1/3)^2) = √(64 + 8.89) = √72.89 ≈ 8.53

Для BH:
√((5 - 8)^2 + (0 - 1/3)^2) = √(9 + 1/9) = √(81/9 + 1/9) = √(82/9) ≈ 3.02

Таким образом, длина высоты AK ≈ 8.53, а длина высоты BH ≈ 3.02.