Дана функция двух переменных z(x;y)
Найти:
1) экстремум функции z(x;y)
2) gradz в точке А (1;-2)
3) наибольшую скорость возрастания функции z(x;y) в точке А (1;-2)

z=x²-3xy-y²-2x+6y+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для нахождения экстремума функции z(x;y) найдем частные производные по переменным x и y и прировняем их к нулю:

∂z/∂x = 2x - 3y - 2 = 0
∂z/∂y = -3x - 2y + 6 = 0

Из первого уравнения получаем:
2x = 3y + 2
x = (3y + 2) / 2

Подставляем x во второе уравнение:
-3(3y + 2) / 2 - 2y + 6 = 0
-9y - 6 - 2y + 6 = 0
-11y = 0
y = 0

Теперь находим x:
x = (3*0 + 2) / 2 = 1

Итак, точка экстремума функции z(x;y) - (1;0).

Для определения типа экстремума можно применить критерий Сильвестра и найти матрицу Гессе функции z(x;y) в точке (1;0).

2) Найдем градиент функции z(x;y) в точке А (1;-2):
gradz = (∂z/∂x; ∂z/∂y) = (2x - 3y - 2; -3x - 2y + 6)
gradz(1; -2) = (21 - 3(-2) - 2; -31 - 2(-2) + 6) = (8; 4)

3) Наибольшая скорость возрастания функции z(x;y) в точке А (1;-2) соответствует направлению вектора градиента в этой точке. Поэтому наибольшая скорость возрастания будет равна длине вектора градиента в точке А:
|gradz(1; -2)| = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5

Таким образом, наибольшая скорость возрастания функции z(x;y) в точке (1;-2) равна 4√5.