Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x²-6x+5, y=3x-9, x=8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных функций.

Ищем пересечения между y = x² - 6x + 5 и y = 3x - 9:

x² - 6x + 5 = 3x - 9
x² - 6x - 3x + 5 + 9 = 0
x² - 9x + 14 = 0
(x - 7)(x - 2) = 0
x = 7 или x = 2

Теперь найдем точки пересечения между x = 8 и y = x² - 6x + 5:

y = 8² - 6*8 + 5
y = 64 - 48 + 5
y = 21

Итак, точки пересечения фигуры:

Теперь можем найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями и линией x = 8. Поскольку данные функции ограничивают фигуру с обоих сторон, нам нужно рассчитать площадь как сумму площадей двух фигур: фигуры между y = x² - 6x + 5 и y = 3x - 9, и фигуры между x = 8 и y = x² - 6x + 5.

Площадь первой фигуры:

∫[2,7] (x² - 6x + 5 - (3x - 9)) dx = ∫[2,7] (x² - 9x + 14) dx = [x³/3 - 9x²/2 + 14x] [2,7] = (7³/3 - 97²/2 + 147) - (2³/3 - 92²/2 + 142) = (343/3 - 441/2 + 98) - (8/3 - 36/2 + 28) = 122 - 96 = 26

Площадь второй фигуры:

∫[2,8] (8 - (x² - 6x + 5)) dx = ∫[2,8] (8 - x² + 6x - 5) dx = ∫[2,8] (-x² + 6x + 3) dx = [-x³/3 + 3x² + 3x] [2,8] = (-(8³)/3 + 38² + 38) - (-(2³)/3 + 32² + 32) = (-512/3 + 192 + 24) - (-8/3 + 12 + 6) = 56

Таким образом, площадь фигуры равна 26 + 56 = 82.