Нужно найти значения. Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение выражения (а-х)(х+4) положительно.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти значения a, при которых наибольшее значение выражения (a-x)(x+4) положительно, рассмотрим выражение как функцию f(x) = (a-x)(x+4).

Найдём критические точки функции f(x). Установим производную функции равной нулю:

f'(x) = d((a-x)(x+4))/dx = (a-x) * d(x+4)/dx - d(a-x)/dx * (x+4)

f'(x) = (a-x) * 1 - (-1) * (x+4)

f'(x) = a - x - x - 4 = a - 2x - 4

Теперь найдём значения x, при которых производная равна нулю:

a - 2x - 4 = 0 2x = a - 4 x = (a - 4) / 2

Таким образом, функция имеет одну критическую точку x = (a - 4) / 2

Теперь определим, является ли эта критическая точка точкой максимума:

f''(x) = d^2((a-x)(x+4))/dx^2 = d(a - 2x - 4)/dx = -2

Поскольку вторая производная функции f(x) отрицательна, критическая точка является точкой максимума.

Максимум функции достигается при x = (a - 4) / 2. Чтобы максимальное значение выражения было положительным, нужно чтобы:

(a - (a - 4) / 2)((a - 4) / 2 + 4) > 0

Подставим значение x и упростим выражение:

(a/2)((a+4)/2) > 0

a^2 + 4a > 0 a(a + 4) > 0

Таким образом, для того чтобы максимальное значение выражения было положительным, a должно быть > 0 и a + 4 должно быть > 0:

a > 0 a + 4 > 0 => a > -4

Таким образом, все значения a, при которых наибольшее значение выражения (a-x)(x+4) положительно, лежат в интервале (-4, +∞)