Исследование функции и построение графика
y=x+xlnx 2. y= (2+x)/(x+1)^2 Исследование функции и построение графика
y=x+xlnx 2. y= (2+x)/(x+1)^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала исследуем функцию y=x+xlnx:

Найдем область определения:
Функция y=x+xlnx определена для всех x>0, так как в логарифме должно быть положительное число.Найдем производную функции:
y' = 1 + ln(x) + 1 = 1 + ln(x) + 1 = ln(x) + 2Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
ln(x) + 2 = 0
ln(x) = -2
x = e^(-2)Проверим найденные точки экстремума на экстремумы:
y'' = 1/x > 0 для всех x>0, следовательно, точка x=e^(-2) является точкой минимума.Найдем пределы функции при x -> 0 и при x -> +∞:
lim x -> 0 (x + xln(x)) = 0 + 0 = 0
lim x -> +∞ (x + xln(x)) = +∞Построим график функции y=x+xlnx:

Теперь проанализируем функцию y = (2 + x)/(x+1)^2:

Найдем область определения:
Функция y = (2 + x)/(x+1)^2 определена для всех x, кроме x=-1, так как знаменатель не должен быть равен нулю.Найдем производную функции:
y' = [(2 + x)(2)-(x+1)(1)]/(x+1)^3
y' = (4 + 2x - x - 1)/(x+1)^3
y' = (3 + x)/(x+1)^3Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
3 + x = 0
x = -3Проверим найденные точки экстремума на экстремумы:
y'' = 1/(x+1)^4 > 0 для всех x, следовательно, точка x=-3 является точкой минимума.Найдем пределы функции при x -> -1 и при x -> +∞:
lim x -> -1 (2 + x)/(x+1)^2 = 1/0 (бесконечность)
lim x -> +∞ (2 + x)/(x+1)^2 = 0Построим график функции y = (2 + x)/(x+1)^2:

Графики данных функций представлены выше.