Вычислить момент инерции однородного тела V, заданного следующими поверхностями: V: x=y^2+z^2; y^2+z^2=1; x>=0 относительно оси ОХ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем объем тела V, ограниченного поверхностью x=y^2+z^2 и усеченного поверхностью y^2+z^2=1.

Объем такого тела можно найти с помощью тройного интеграла:

V = ∫∫∫dV = ∫∫(1-y^2-z^2)dS,

где dS = dydz.

Интегрируем это по ограничениям y от -1 до 1 и z от -√(1-y^2) до √(1-y^2):

V = ∫∫(1-y^2-z^2)dydz = 2∫(1-y^2)√(1-y^2)dy = 2∫(1-y^2)^(3/2)dy.

Интегрируем это с учетом ограничения y от -1 до 1:

V = 2∫(1-y^2)^(3/2)dy = 2/3.

Теперь для вычисления момента инерции однородного тела относительно оси ОХ воспользуемся формулой:

I = ρ∫V r^2 dV,

где r - расстояние элемента объема dV до оси ОХ.

Так как тело однородное, то плотность ρ = const.

Получаем:

I = ρ∫(x)dV.

Отобразим тело V относительно оси ОХ:

x = y^2 + z^2,

для удобства интегрирования воспользуемся цилиндрическими координатами:

x = r^2,

где r - радиус в полярной системе координат.

Тогда наш интеграл примет вид:

I = ρ∫(r^2)r dr dφ dz,

где r от 0 до 1, φ от 0 до 2π, z от -√(1-r^2) до √(1-r^2).

Вычислим данный интеграл:

I = ρ∫∫∫(r^3)drdφdz = ρ∫(0,1)r^3dr∫(0,2π)dφ∫(-√(1-r^2),√(1-r^2))dz = ρ(π/4)(4/3) = ρπ/3.

Таким образом, момент инерции однородного тела V относительно оси ОХ равен π/3.