Интеграл с рациональной дробью (3x-1)/sqrt(x^2+2x+2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления интеграла данной рациональной дроби нужно разложить ее на простейшие дроби.

Сначала разложим знаменатель sqrt(x^2+2x+2) на множители.

x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1

Теперь разложим на простейшие дроби по формуле неопределенных коэффициентов:

(3x - 1) / sqrt(x^2 + 2x + 2) = A / (x + 1) + B / ((x + 1)^2 + 1)

Умножим обе части уравнения на sqrt(x^2 + 2x + 2), чтобы избавиться от знаменателя:

3x - 1 = A sqrt(x^2 + 2x + 2) + B (x + 1)

Подставим x = -1:

-4 = A * sqrt(2) => A = -4/sqrt(2)

Заметим, что правая часть уравнения будет равна 0 при t = 0 и B = -1.

Получаем, что:

-4/sqrt(2) sqrt(x^2 + 2x + 2) - (x+1) = -4/sqrt(2) (x+1) + 1

Теперь можем найти интеграл от данной рациональной дроби.

∫((3x - 1) / sqrt(x^2 + 2x + 2)) dx = ∫(-4/sqrt(2) (x+1) + 1) dx
= -4/sqrt(2) ∫(x+1) dx + ∫1 dx
= -4/sqrt(2) ((x^2/2) + x) + x + C
= -2/sqrt(2) x^2 - 2sqrt(2) x + x + C
= -2/sqrt(2) x^2 - 2sqrt(2) * x + x + C

где C - постоянная интегрирования.