Решить неравенство
√(x-3)+2√(x+4)<√(1-x)
√(x-3)+2√(x+4)<√(1-x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное неравенство:

√(x-3) + 2√(x+4) < √(1-x)

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

√(x-3) + 2√(x+4) - √(1-x) < 0

Теперь возведем все слагаемые в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x-3) + 4(x+4) - 2√((x-3)(1-x)) < 0

Раскроем скобки:

x - 3 + 4x + 16 - 2√(x - 3 - x^2 + 3x) < 0
5x + 13 - 2√(-x^2 + 4x - 3) < 0

Уберем корень, помня о том, что должно выполняться условие -x^2 + 4x - 3 > 0, чтобы под корнем оказалось действительное число:

5x + 13 + 2√(x^2 - 4x + 3) < 0

Теперь избавимся от корня:

2√(x^2 - 4x + 3) < -5x - 13

Возведем обе стороны в квадрат, помня о том, что правая сторона должна быть положительной:

4(x^2 - 4x + 3) < 25x^2 + 130x + 169
4x^2 - 16x + 12 < 25x^2 + 130x + 169
21x^2 + 146x + 157 > 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 21x^2 + 146x + 157 = 0, они равны:

x1 = -3
x2 = -23/7

Знаки интервалов меняем в зависимости от квадрата перед x^2 (положительный – выпуклый вверх, отрицательный – выпуклый вниз). Поскольку перед x^2 стоит положительное число, то изображаем интервалы на ОХ:

---(-3)---(-23/7)---|---(+)---(x)

Так как нам нужно удовлетворить условие неравенства (21x^2 + 146x + 157 > 0), нам нужен интервал после x2, то есть x < -23/7.

Итак, решением данного неравенства является x < -23/7.