Сколько решений в целых числах имеет уравнение 1/2022 = 1/x + 1/y?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно преобразовать к виду:

1/2022 = 1/x + 1/y

Умножим обе части уравнения на 2022xy, получим:

xy = 2022y + 2022x

Или:

xy - 2022x - 2022y + 20222022 = 20222022

Преобразовав это уравнение, получим:

(x - 2022)(y - 2022) = 2022*2022

Теперь нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 20222022. Для этого обратим внимание, что 20222022 = 2101121011 = 2^21011^2.

То есть, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 2^2*1011^2. Это возможно при различных вариантах раскрытия этого произведения на множители:

1) x - 2022 = 1 и y - 2022 = 2022^2
2) x - 2022 = 2 и y - 2022 = 2022^2/2
3) x - 2022 = 2^2 и y - 2022 = 2022^2/2^2
4) x - 2022 = 1011 и y - 2022 = 2*1011
5) x - 2022 = 1011^2 и y - 2022 = 2
...

Таким образом, решений в целых числах у уравнения 1/2022 = 1/x + 1/y бесконечно много.