Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. у=9х²-6х+1, у=0, х=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно найти интеграл функции y=9x^2-6x+1 между точками пересечения с осью абсцисс (x=0 и у=0).

Сначала найдем точки пересечения функции y=9x^2-6x+1 с осью x, при y=0:
0=9x^2-6x+1
Решая квадратное уравнение, получаем два корня: x=1/3 и x=0. Поэтому площадь фигуры будет равна интегралу функции y=9x^2-6x+1 на отрезке [0; 1/3]:

S = ∫[0;1/3] (9x^2-6x+1) dx
S = 3x^3 - 3x^2 + x |[0;1/3]
S = 3(1/3)^3 - 3(1/3)^2 + 1/3 - 0 = 1/9 - 1/9 + 1/3 = 1/3

Поэтому площадь фигуры, ограниченной линиями y=9x^2-6x+1, y=0 и x=0, равна 1/3.