Математика вычисление параметра Найдите значение параметра a при котором оба числа asqtr(a-2)-5 и 2a^2+24sqrt(a-2)-a^(-3) -131 являются решениями неравенства log_(2x-12)(log_5(2x^2-41x+200))>=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим неравенство log_(2x-12)(log_5(2x^2-41x+200)) >= 0.

Заметим, что логарифмы должны быть определены, то есть аргументы логарифмов должны быть положительными:
2x - 12 > 0 => x > 6
2x^2 - 41x + 200 > 0
Найдем корни квадратного уравнения 2x^2 - 41x + 200 = 0:
D = (-41)^2 - 42200 = 1681 - 800 = 881
x1,2 = (41 +- sqrt(881))/4
x1 = 39.25
x2 = 1.75

Таким образом, корни уравнения 2x^2 - 41x + 200 = 0 равны 39.25 и 1.75.
Точки разрыва функции log_5(2x^2-41x+200) находятся в точках x=6, x=1.75 и x=39.25.
Эти точки делят прямую на 4 интервала (-∞; 1.75), (1.75; 6), (6; 39.25), (39.25; +∞)

Далее, рассмотрим основание логарифмов. Поскольку оба логарифма положительны, то основание log_5(2x^2-41x+200) должно быть больше 1:
5 > 1 => - бесконечности < x < 1.75, 39.25 < x < + бесконечности

Зайдем теперь к нашему аргументу x внутри логарифма:
x принадлежит интервалам:

Значит, условия неравенства выполняются при всех x принадлежащих данным интервалам.

Теперь подставим найденные интервалы в неравенство log_(2x-12)(log_5(2x^2-41x+200)) >= 0 и решим его:

Для интервала (-∞; 1.75):
log_(2x-12)(log_5(2x^2-41x+200)) < 0 при условии, что окружающие логарифмы больше 0:
log_5(2x^2-41x+200) < 0, x принадлежит (- бесконечности, 1.75)
Таким образом, для данного интервала неравенство не выполняется.

Для интервала (6; 39.25):
log_(2x-12)(log_5(2x^2-41x+200)) >= 0 при условии, что окружающие логарифмы больше 0:
log_5(2x^2-41x+200) >= 0, x принадлежит (6, 39.25)
Таким образом, для данного интервала неравенство выполняется.

Таким образом, все x, принадлежащие интервалу (6; 39.25), являются решениями неравенства.