4. Стороны АВ и АС треугольника АВС равны 5 и 8. На медиане АМ этого треугольника выбрана точка Р такая, что сумма расстояний от точки Р до прямых АВ и АС равна 2. Найдите эти расстояния.

5. Медиана AD остроугольного треугольника АВС равна 5, а проекция этой медианы на стороны АВ и АС равны 2sqrt5 и 4 соответственно. Найдите сторону ВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим расстояние от точки P до стороны AB как x, а до стороны AC как y. Так как сумма расстояний от точки P до сторон AB и AC равна 2, то x + y = 2.

Так как P лежит на медиане AM, то AP = PM. Теперь можем применить теорему Пифагора к треугольникам APB и APC:

В треугольнике APB: AB^2 = AP^2 + x^2
В треугольнике APC: AC^2 = AP^2 + y^2

Имеем систему уравнений:
5^2 = AP^2 + x^2
8^2 = AP^2 + y^2

Решив систему, найдем AP = 3. После этого можем найти x и y:
3^2 + x^2 = 5^2
3^2 + y^2 = 8^2

x = 4, y = 1

Получаем, что расстояние от точки P до прямой AB равно 4, а до прямой AC равно 1.

Обозначим стороны треугольника ABC как AB = c, AC = b, и BC = a. По свойствам медиан в треугольнике:

2AD^2 = b^2 + c^2 - a^2

Также, проекции медиан AD на стороны AB и AC образуют подобные треугольники, значит:

c^2 = 5^2 + (2sqrt5)^2 = 25 + 20 = 45
b^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41

Теперь можем применить формулу для медианы AD:

2*5^2 = 41 + 45 - a^2
50 = 86 - a^2
a^2 = 36
a = 6

Итак, сторона BC треугольника ABC равна 6.