Олимпиадная алгебра, уравнение. Уравнение:
(1+x+…+x^7)(1+x+…+x^5)=(1+x+…+x^6)^2
Как можно упростить? Или решить.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для упрощения данного уравнения раскроем скобки:

(1+x+…+x^7)(1+x+…+x^5)=(1+x+…+x^6)^2

Получим:

(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2

Раскроем скобки и сложим все члены:

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6 + 6x^7 + 5x^8 + 4x^9 + 3x^10 + 2x^11 + x^12 = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + 7x^6 + 6x^7 + 5x^8 + 4x^9 + 3x^10 + 2x^11 + x^12

Таким образом, уравнение (1+x+…+x^7)(1+x+…+x^5)=(1+x+…+x^6)^2 верно для всех значений x.

Или просто проверяем корни уравнения в виде нахождения суммы прогрессий:

(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5) = ((1-x^8)/(1-x))(1-x^6)^2

Оба операнда дадут равные суммы.