Комбинаторика, олимпиадное задание Барон Мюнхгаузен называет натуральное число «таинственным», если в разложении этого числа каждый его простой множитель содержится в нечётной степени. Например, число 4000=25⋅53 — «таинственное». Барон утверждает, что нашёл 15 подряд идущих «таинственных» чисел. Какое максимальное число таких чисел он мог найти на самом деле?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Мы заметим, что произведение двух "таинственных" чисел также будет "таинственным", так как каждый простой множитель будет встречаться в нечётной степени в обоих числах.

Таким образом, если мы возьмем два подряд идущих "таинственных" числа и перемножим их, то мы получим еще одно "таинственное" число. Следовательно, минимальное число "таинственных" чисел, которые могут идти подряд, равно 2.

Теперь вспомним, что "теинственные" числа - это числа, в которых каждый простой множитель содержится в нечётной степени. Заметим, что если число N содержит простой множитель p в n-ой степени, то число N^k содержит этот множитель в степени n*k.

Таким образом, если у нас есть 15 подряд идущих "таинственных" чисел, то их произведение содержит каждый простой множитель в нечётной степени, так как 15 — нечётное число.

Следовательно, максимальное количество "таинственных" чисел, которое мог найти Барон Мюнхгаузен, равно 15.