Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ? = 3 cos 2? − 4 sin 2?, мы можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями или методом частных производных.
С использованием тригонометрических преобразований Обратимся к формуле для разности косинусов cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB
Заметим, что данная функция переходит в функцию одной переменной, которую можно проанализировать на максимум и минимум Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю ?(?) = -4sin(2?) - 24cos(2?) = -4sin(2?) = 24cos(2? -tg(2?) = 6
Откуда получаем значение 2? = arctan(-6 2? ≈ -1.39 radian ? ≈ -0.695 radians
Оценим значения функции при данном угле и на концах его определения ?(-π/2) = 3(cos(π) - 0) = - ?(0) = 3 - 0 = ?(-3π/2) = 3(-1 - 0) = -3
Таким образом, наибольшее значение функции ? = 3 cos 2? − 4 sin 2? равно 3, а наименьшее значение равно -3.
С использованием метода частных производных Если вы используете метод частных производных, то вам необходимо дополнительно найти градиент функции и, приравняв его к нулю, найти точки, в которых могут находиться экстремумы.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ? = 3 cos 2? − 4 sin 2?, мы можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями или методом частных производных.
С использованием тригонометрических преобразованийОбратимся к формуле для разности косинусов
cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB
Преобразуем нашу функцию
? = 3 (cos^2? - sin^2?) - 4(2sin?cos?) = 3cos^2? - 3sin^2? - 8sin?cos
? = cos(2?) - 3sin(2?) - 8sin(2?)
Заметим, что данная функция переходит в функцию одной переменной, которую можно проанализировать на максимум и минимум
Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю
?(?) = -4sin(2?) - 24cos(2?) =
-4sin(2?) = 24cos(2?
-tg(2?) = 6
Откуда получаем значение
2? = arctan(-6
2? ≈ -1.39 radian
? ≈ -0.695 radians
Оценим значения функции при данном угле и на концах его определения
?(-π/2) = 3(cos(π) - 0) = -
?(0) = 3 - 0 =
?(-3π/2) = 3(-1 - 0) = -3
Таким образом, наибольшее значение функции ? = 3 cos 2? − 4 sin 2? равно 3, а наименьшее значение равно -3.
С использованием метода частных производныхЕсли вы используете метод частных производных, то вам необходимо дополнительно найти градиент функции и, приравняв его к нулю, найти точки, в которых могут находиться экстремумы.