Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции ? = 3 cos 2? − 4 sin 2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ? = 3 cos 2? − 4 sin 2?, мы можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями или методом частных производных.

С использованием тригонометрических преобразований:
Обратимся к формуле для разности косинусов:
cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB

Преобразуем нашу функцию:
? = 3 (cos^2? - sin^2?) - 4(2sin?cos?) = 3cos^2? - 3sin^2? - 8sin?cos?
? = cos(2?) - 3sin(2?) - 8sin(2?)

Заметим, что данная функция переходит в функцию одной переменной, которую можно проанализировать на максимум и минимум.
Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
?(?) = -4sin(2?) - 24cos(2?) = 0
-4sin(2?) = 24cos(2?)
-tg(2?) = 6

Откуда получаем значение:
2? = arctan(-6)
2? ≈ -1.39 radians
? ≈ -0.695 radians

Оценим значения функции при данном угле и на концах его определения:
?(-π/2) = 3(cos(π) - 0) = -3
?(0) = 3 - 0 = 3
?(-3π/2) = 3(-1 - 0) = -3

Таким образом, наибольшее значение функции ? = 3 cos 2? − 4 sin 2? равно 3, а наименьшее значение равно -3.

С использованием метода частных производных:
Если вы используете метод частных производных, то вам необходимо дополнительно найти градиент функции и, приравняв его к нулю, найти точки, в которых могут находиться экстремумы.