Входная диагностическая работа по геометрии Для всех задач выполните чертеж и запишите дано, найти (доказать),
решение (доказательство).
1). Один из смежных углов равен 400
. Чему равен другой угол?

2). Два угла треугольника равны 1070 и 230
. Чему равен третий угол этого
треугольника?
3). В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 700
. Чему
равны остальные углы?

4). Треугольник АВС – прямоугольный (угол С равен 90ᵒ). Угол А равен 60ᵒ,
АС = 4 см, СВ = 5 см. Найдите периметр треугольника.
5). Дан четырехугольник ACBD, так что AC = CB, CD – биссектриса угла
ACB. Докажите, что угол CAD равен углу CBD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1). Дано: один из смежных углов равен 40°.
Найти: другой угол.

Решение:
Поскольку углы смежные, их сумма равна 180°.
Пусть искомый угол равен x. Тогда 40° + x = 180°.
Отсюда x = 180° - 40° = 140°.
Ответ: другой угол равен 140°.

2). Дано: два угла треугольника равны 107° и 23°.
Найти: третий угол треугольника.

Решение:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Пусть третий угол треугольника равен x. Тогда 107° + 23° + x = 180°.
Отсюда x = 180° - 107° - 23° = 50°.
Ответ: третий угол треугольника равен 50°.

3). Дано: равнобедренный треугольник, угол при основании равен 70°.
Найти: значения остальных углов треугольника.

Решение:
В равнобедренном треугольнике угол при основании равен углу между равными сторонами (основанием).
Таким образом, остальные углы треугольника также равны 70°.
Ответ: остальные углы равны 70°.

4). Дано: прямоугольный треугольник ABC, угол A = 60°, AC = 4 см, BC = 5 см.
Найти: периметр треугольника ABC.

Решение:
Используем теорему косинусов:
BC² = AC² + AB² - 2 AC AB cos(A)
5² = 4² + AB² - 2 4 AB cos(60°)
25 = 16 + AB² - 8AB cos(60°)
AB² - 8AB 0.5 = 25 - 16
AB² - 4AB - 9 = 0
(AB - 9)(AB + 1) = 0
AB = 9 см (так как сторона не может быть отрицательной)
Теперь находим периметр треугольника ABC:
Периметр = AC + BC + AB = 4 + 5 + 9 = 18 см.
Ответ: периметр треугольника ABC равен 18 см.

5). Доказательство:
Проведем биссектрису угла ACB и обозначим точку пересечения с отрезком AD как E.
Так как AC = CB, то треугольники ACD и BCD равны по стороне-углу-стороне.
Отсюда следует, что угол CAD равен углу CBD.
Доказано.