Олимпиада математика 10 Арифметическая прогрессия a1,a2,...,a84 имеет разность d=2 . Найдите значение выражения −a1−a2+a3+a4−a5−a6+a7+a8−... −a81−a82+a83+a84. Выражение начинается с двух слагаемых со знаком «минус», затем два слагаемых со знаком «плюс» и т.д.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи имеем, что выражение начинается с двух слагаемых со знаком минус, затем два слагаемых со знаком плюс и так далее. Таким образом, для всех членов, начиная со второго, имеется следующая закономерность: an - a{n+1} = 2.

Так как нам дана арифметическая прогрессия, то можем запиать каждый член через первый член и разность: a_n = a_1 + (n-1)*d. Тогда из условия an - a{n+1} = 2 получаем:

a_1 + (n-1)d - (a_1 + nd) =
=> (n-1)d - nd =
=> -d =
=> d = -2

Теперь выразим все члены последовательности через a1: a_2 = a_1 - 2, a_3 = a_1 - 4, a_4 = a_1 - 6 и т.д.

Тогда значение выражения имеет вид
-(a_1 + (a_1 - 2) + (a_1 - 4) + ... + (a_1 - 80)) + (a_1 - 82 + a_1 - 84 + ... + a_1
= -84a_1 + 80(1 + 2 + ... + 40) - 80(41 + 42 + ... + 84
= -84a_1 + 8040(40 + 1) - 80444
= -84a_1 + 804041 - 80444
= -84a_1 + 8040(41 - 44
= -84a_1 - 8040
= -84a_1 - 960

Таким образом, значение выражения равно -84*a_1 - 960.