В множестве X натуральных чисел 30 элементов. Если натуральные числа a и b не принадлежат X, то 2a, 2b, a + b тоже не принадлежат X. Найдите наибольшее значение суммы всех элементов из X.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего значения суммы всех элементов из X рассмотрим следующий подход:

Предположим, что X содержит k четных элементов и (30 - k) нечетных элементов.Тогда максимальная сумма всех элементов из X будет достигаться в случае, когда в X будут наименьшие возможные нечетные числа и наибольшие возможные четные числа.Таким образом, наименьшие возможные нечетные числа в X будут 1, 3, 5, ..., (30 - k - 1), а наибольшие возможные четные числа будут 2, 4, 6, ..., 2k.Сумма всех элементов из X будет равна 1 + 3 + 5 + ... + (30 - k - 1) + 2 + 4 + 6 + ... + 2k.Сумма арифметической прогрессии для нечетных чисел равна ((30 - k)/2)², а для четных чисел равна (k/2)(k + 1).Таким образом, сумма всех элементов из X будет равна ((30 - k)/2)² + (k/2)(k + 1) = 30²/4 - 30k + k²/2 + k/2 = 750 - 30k + k²/2 + k/2.Для нахождения максимального значения этой суммы необходимо найти ее производную и приравнять к нулю: d(750 - 30k + k²/2 + k/2)/dk = 0.Получаем уравнение -30 + k + 1/2 = 0, откуда k = 59/2.Поскольку k должно быть целым числом, то ближайшее к 59/2 целое число - 30.Итак, чтобы достигнуть наибольшего значения суммы всех элементов из X, необходимо взять 30 четных чисел и 0 нечетных чисел.Максимальное значение суммы всех элементов из X равно 30²/4 = 2250.

Таким образом, наибольшее значение суммы всех элементов из X равно 2250.