Вписанная и описанная окружность Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 15 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности равен ( r ). Тогда высота треугольника, проведенная из вершины, противолежащей стороне, на которую делится отрезок длиной 15 и 3, равна ( r ). Так как треугольник равнобедренный, то эта высота также является медианой, а значит делит эту сторону пополам. Таким образом, получаем, что одна из половин этой стороны равна ( 15 - r ), а другая равна ( 3 + r ).

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом вписанной окружности и отрезками стороны треугольника, получаем:
[ r^2 + (3+r)^2 = (15-r)^2 ]
[ r^2 + 9 + 6r + r^2 = 225 - 30r + r^2 ]
[ 2r^2 + 6r + 9 = 225 - 30r + r^2 ]
[ r^2 + 6r - 216 = 0 ]
[ (r + 18)(r - 12) = 0 ]

Так как радиус не может быть отрицательным, то ( r = 12 ).

Таким образом, периметр треугольника равен:
[ P = 2 \cdot 15 + 3 + 3 + 2r = 30 + 3 + 3 + 24 = 60 ]

Ответ: периметр треугольника равен 60.