АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 КУРС
ВЫШМАТ 5. (3) Составить уравнения прямых, образующих угол arccos (=)
x + 2у - 1 = 0 и удалённых
от точки А(1,1) на расстояние 1.
с прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точку А(1,1) и параллельной прямой x + 2у - 1 = 0. Так как угол между прямыми равен arccos(=), то их направляющие векторы будут иметь скалярное произведение равное 1.

Найдем направляющий вектор прямой x + 2у - 1 = 0. Для этого достаточно взять коэффициенты при переменных x и у, получим (-1, 2).

Так как угол между прямыми равен arccos(=), то направляющий вектор искомой прямой будет (-sin(arccos(=)), cos(arccos(=)) = (-sin(), cos()) = (-sin(), cos()) = (-1, ). Так как мы хотим, чтобы эта прямая была параллельна заданной, то ее направляющий вектор также будет иметь координаты (-1, 2).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку А(1,1) с направляющим вектором (-1, 2). Общее уравнение прямой с заданным направляющим вектором имеет вид:
x - x₀ / a = y - y₀ / b, где (x₀, y₀) - координаты точки, через которую проходит прямая, а (a, b) - координаты направляющего вектора.

Подставляя данные, получаем:
x - 1 / -1 = y - 1 / 2,
-x + 1 = 2(y - 1),
-x + 1 = 2y - 2,
x - 2y + 1 = 0.

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через точку А(1,1) и параллельной прямой x + 2у - 1 = 0, имеет вид x - 2y + 1 = 0.