Математика. Комбинаторика. Задача. Сколько можно составить различных гирлянд из 40 лампочек, если лампочки могут быть синими, красными, зелёными, жёлтыми и белыми и любые три лампочки, стоящие подряд, должны быть трёх разных цветов? Считайте, что гирлянды, где цвета одинаково чередуются от начала к концу и от конца к началу - это две различные гирлянды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся принципом деления на случаи.

Первый случай: три лампочки могут быть одного цвета, а оставшиеся две - разного.
В данном случае у нас 5 вариантов выбрать цвет для тех трех лампочек, которые будут одного цвета. Для каждого цвета остается 4 варианта выбора для двух оставшихся лампочек. Таким образом, есть 54=20 способов выбрать цвета для этого случая.
Для каждой пары набранных цветов будем считать независимо количество способов расставить эти цвета по гирлянде. То есть, есть 2! = 2 способа поменять местами два цвета.
Всего способов для этого случая: 202=40

Второй случай: все пять лампочек разного цвета.
Для первой лампочки есть 5 вариантов выбора цвета, для второй - 4 варианта, для третьей - 3 варианта и так далее.
Всего способов для этого случая: 54321=120

Итого, всего можно составить 40 гирлянд, удовлетворяющих условиям задачи.