Вычислить площадь области D c помощью двойного интеграла Вычислить площадь области D,ограниченной заданными линиями y^2+ x^2=4, y ≤ x*1/2, y ≥0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади области D сначала найдем точки пересечения указанных линий.

Исходные уравнения:
1) y^2 + x^2 = 4
2) y ≤ x/2
3) y ≥ 0

Из уравнения (1) можно определить y в зависимости от x:
y = ±√(4 - x^2)

Точки пересечения y = x/2 и y = √(4 - x^2):
x/2 = √(4 - x^2)
x^2/4 = 4 - x^2
x^2 + x^2/4 = 4
5x^2/4 = 4
x^2 = 16/5
x = ±√(16/5) = ±4/√5

Точки пересечения y = 0 и y = √(4 - x^2):
0 = √(4 - x^2)
x^2 = 4
x = ±2

Точки пересечения y = 0 и y = x/2:
0 = x/2
x = 0

Точки пересечения y = x/2 и y = √(4 - x^2):
x/2 = √(4 - x^2)
x^2/4 = 4 - x^2
5x^2/4 = 4
x^2 = 16/5
x = ±4/√5

Таким образом, точки пересечения линий образуют следующие участки:
1) x = 0, y = 0
2) -4/√5 ≤ x ≤ 4/√5, 0 ≤ y ≤ x/2
3) -2 ≤ x ≤ -4/√5, 0 ≤ y ≤ √(4 - x^2)
4) 2 ≤ x ≤ 4/√5, 0 ≤ y ≤ √(4 - x^2)

Теперь можно записать двойной интеграл для вычисления площади области D:
∬D dxdy = ∫∫D 1 dxdy

Площадь области D равна сумме площадей каждого из участков, то есть:
S = S1 + S2 + S3 + S4 = (4√5)/4 + (1/2)(4/√5)(4/√5) + (1/2)(4/√5)(2) + (1/2)(4/√5)(2) = √5 + 4/5 + 2/√5 + 2/√5 = √5 + 10/√5 ≈ 4.472 + 4.472 ≈ 8.944

Площадь области D равна примерно 8.944.