Математика. Геометрия. Параллелепипед Расстояние между противоположными вершинами прямоугольного параллелепипеда равно 21.Сумма длин всех его двенадцати рёбер равна 140.Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длины рёбер параллелепипеда равны a, b и c. Так как расстояние между противоположными вершинами равно 21, то сумма квадратов всех длин рёбер равна 21^2 = 441:

a^2 + b^2 + c^2 = 441

Также из условия известно, что сумма длин всех рёбер равна 140:

4(a + b + c) = 140

a + b + c = 35

Таким образом, у нас есть система из двух уравнений:

a^2 + b^2 + c^2 = 441
a + b + c = 35

Из второго уравнения находим значение одной из переменных, например:

a = 35 - b - c

Подставляем это выражение в первое уравнение:

(35 - b - c)^2 + b^2 + c^2 = 441
1225 - 70b - 70c + b^2 + 2bc + c^2 + b^2 + c^2 = 441
2b^2 + 2c^2 + 2bc - 70b - 70c + 784 = 0
b^2 + c^2 + bc - 35b - 35c + 392 = 0

Данное уравнение можно представить в виде:

(b - 17)^2 + (c - 17)^2 + (b - 17)(c - 17) = 0

Отсюда получаем, что b = c = 17, а значит a = 1.

Таким образом, длины рёбер параллелепипеда равны 1, 17 и 17. Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней:

2(ab + ac + bc) = 2(117 + 117 + 17*17) = 2(17 + 17 + 289) = 2(323) = 646

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда равна 646.