Разложить функцию y= f(x) в ряд Фурье на интервале f(x)=x+(x)/2 (-2;2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала вычислим коэффициенты ряда Фурье для функции ( f(x) = x + \frac{x}{2} ) на интервале (-2; 2):

[ a0 = \frac{1}{4} \int{-2}^{2} (x + \frac{x}{2}) dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} \right] \Bigg|_{-2}^{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{8} ]

[ an = \frac{1}{2} \int{-2}^{2} (x + \frac{x}{2}) \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{2x \sin(\frac{n\pi x}{2})}{n\pi} + \frac{2x \sin(\frac{n\pi x}{4})}{n\pi} - \frac{4 \cos(\frac{n\pi x}{2})}{(n\pi)^2} - \frac{8 \cos(\frac{n\pi x}{4})}{(n\pi)^2} \right] \Bigg|_{-2}^{2} = 0 ]

[ bn = \frac{1}{2} \int{-2}^{2} (x + \frac{x}{2}) \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} \left[ - \frac{2x \cos(\frac{n\pi x}{2})}{n\pi} - \frac{2x \cos(\frac{n\pi x}{4})}{n\pi} - \frac{4 \sin(\frac{n\pi x}{2})}{(n\pi)^2} - \frac{8 \sin(\frac{n\pi x}{4})}{(n\pi)^2} \right] \Bigg|_{-2}^{2} = 0 ]

Теперь можем записать разложение функции ( f(x) = x + \frac{x}{2} ) в ряд Фурье на интервале (-2; 2):

[ f(x) = \frac{9}{8} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ 0 \cos(\frac{n\pi x}{2}) + 0 \sin(\frac{n\pi x}{2}) \right] = \frac{9}{8} ]

Таким образом, разложение функции ( f(x) = x + \frac{x}{2} ) в ряд Фурье на интервале (-2; 2) равно [ f(x) = \frac{9}{8} ]