Найдите гипотенузу треугольника
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета этого треугольника равна 24. Найдите гипотенузу треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть гипотенуза равна ( c ), а меньший катет равен ( a ). Тогда по теореме синусов:

[
\frac{a}{\sin{60°}} = \frac{c}{\sin{30°}}
]

Так как (\sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (\sin{30°} = \frac{1}{2}), мы можем записать:

[
\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{1}{2}}
]

[
2a\sqrt{3} = c
]

Также, по условию задачи:

[
c + a = 24
]

Подставляя выражение для (c) из первого уравнения во второе, получаем:

[
2a\sqrt{3} + a = 24
]

[
a(2\sqrt{3} + 1) = 24
]

[
a = \frac{24}{2\sqrt{3} + 1} = \frac{24(2\sqrt{3} - 1)}{12 - 1} = 4\sqrt{3} - 2
]

Теперь, используя это значение (a), мы можем найти (c):

[
c = 2a\sqrt{3} = 2(4\sqrt{3} - 2)\sqrt{3} = 8(3) - 4(\sqrt{3}) = 24 - 4\sqrt{3}
]

Итак, гипотенуза треугольника составляет (24 - 4\sqrt{3}).