Контрольная работа по алгебре Найти производную функции u в точке М по направлению, идущему от этой точки к точке P: u = xz/y3 + xz2y3+yz2; M(2, -1, 2); P(10, -5, 3) и указать направляющие косинусы вектора MP и значение производной по направлению: например, cosα=2/7, cosβ=3/7, cosγ=6/7; ∂u/∂MP=15/7.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем вектор MP, который направлен от точки М к точке P:
MP = OP - OM = (10, -5, 3) - (2, -1, 2) = (8, -4, 1).

Теперь найдем длину вектора MP:
|MP| = √(82 + (-4)2 + 12) = √(64 + 16 + 1) = √81 = 9.

Далее найдем направляющие косинусы вектора MP:
cosα = 8/9,
cosβ = -4/9,
cosγ = 1/9.

Теперь вычислим производную функции u в точке М по направлению вектора MP:
∂u/∂MP = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) * (8/9, -4/9, 1/9).

∂u/∂x = z/y^3 + z^2y^3 = 2/(-1)^3 + 2^2(-1)^3 = -2 - 2 = -4,
∂u/∂y = -3xz/y^4 + 3zx^2y^2 + z^2 = -322/(-1)^4 + 322^2(-1)^2 + 2^2 = 12 + 24 + 4 = 40,
∂u/∂z = x/y^3 + 2xyz + 2yz = 2/(-1)^3 + 22(-1) + 2*2 = -2 - 4 + 4 = -2.

Теперь рассчитаем производную по направлению вектора MP:
∂u/∂MP = (-4, 40, -2) * (8/9, -4/9, 1/9) = -32/9 - 160/9 - 2/9 = -194/9 ≈ -21.56.

Итак, направляющие косинусы вектора MP: cosα=8/9, cosβ=-4/9, cosγ=1/9, значение производной функции u по направлению вектора MP: ∂u/∂MP=-194/9.