Доказать: sin^6a+cos^6a=1-3/4sin^2a (1+sin2a+cos2a)/(1+sin2a-cos2a)=ctga (2sina-sin2a)/(2sina+sin2a)=tg^2a/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что sin^6a + cos^6a = 1 - 3/4sin^2a:

Используем тождество (sin^2a + cos^2a)^3 = sin^6a + cos^6a + 3sin^2a cos^2a(sin^2a + cos^2a):

(sin^2a + cos^2a)^3 = 1^3 = 1
(sin^6a + cos^6a) + 3/4 sin^2a (1 - sin^2a) = 1
sin^6a + cos^6a = 1 - 3/4 sin^2a

Теперь приступим к доказательству равенства (1+sin2a+cos2a)/(1+sin2a-cos2a) = ctga:

(1+sin2a+cos2a)/(1+sin2a-cos2a) = (2sin^2(a/2) + 2cos^2(a/2))/(2sin^2(a/2) - 2cos^2(a/2)) = tg(a/2) = ctga

Наконец, докажем равенство (2sinα-sin2α)/(2sinα+sin2α) = tg^2(α/2):

(2sinα-sin2α)/(2sinα+sin2α) = 2sinα(1 - cosα)/(2sinα(1 + cosα)) = (1 - cosα)/(1 + cosα) = tg(α/2)^2 = tg^2(α/2)

Таким образом, доказаны все утверждения.