Планиметрия ЕГЭ. Решить задачу. Вписанный и описанный четырёхугольник. В четырёхугольник авсд вписана окружность с центром в точке о. Через точки а, в, с и д перпендикулярно оа, ов, ос и од проведены прямые ла, лв, лс ии лд соответственно. Прямые ла ии лв пересекаются в точке к, лв и лс - в точке л, лс и лд - в точке м, лд ла - в точке н. Докажите, что км и лн пересекаются в точке о. Найдите он, если ок=4, ол=2, ом=3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что точка о - центр вписанной окружности, следовательно, отрезки оа, ов, ос и од - радиусы этой окружности и равны между собой.

Также заметим, что треугольники ока и ома равнобедренные, так как углы ока и ома равны из условия нахождения угла окв(ад). Из равнобедренности треугольников следует, что угол ока равен углу ома.

Теперь обратим внимание на треугольники онк и олн. Угол онк равен углу олн, так как она является главной диагональю четырехугольника. Угол онэ равен углу олэ, так как она равная половина главной диагонали, следовательно, онэ длиннее олэ два раза. Получается, что треугольник онл - подобен треугольнику онк с коэффициентом 1:2.

Теперь можем рассмотреть треугольник олн в большем обхеме. Из подобия треугольников онл и онк следует, что on=2ok, и он=4, следовательно, ок=2. Получается, что он=2ом, следовательно, нг=мц, где m - середина км, следовательно, он=6.

Таким образом, км и лн пересекаются в точке о, и он=6.