Решите уравнение. sin x*cos x*cos 2x*cos 8x=1/4 sin 12x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения нужно использовать тригонометрические тождества и свойства синуса и косинуса.

Исходное уравнение: sin(x) cos(x) cos(2x) cos(8x) = 1/4 sin(12x)

Заменим cos(2x) на 2cos^2(x) - 1 и cos(8x) на 2cos^2(4x) - 1:

sin(x) cos(x) (2cos^2(x) - 1) (2cos^2(4x) - 1) = 1/4 sin(12x)

Раскроем скобки:

sin(x) cos(x) (2cos^2(x) 2cos^2(4x) - 2cos^2(x) - 2cos^2(4x) + 1) = 1/4 sin(12x)

Упростим:

2sin(x) cos(x) cos^2(x) cos^2(4x) - 2sin(x) cos(x) cos^2(x) - 2sin(x) cos(x) cos^2(4x) + sin(x) cos(x) = 1/4 * sin(12x)

2 sin(2x) cos^2(x) cos^2(4x) - sin(2x) cos(x) - sin(x) cos(x) + sin(x) cos(x) = 1/4 * sin(12x)

2 sin(2x) cos^2(x) cos^2(4x) = 1/4 sin(12x)

Используя формулу двойного угла для синуса и косинуса, получаем:

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Подставляя это выражение в уравнение, получаем:

2 (2 sin(x) cos(x)) cos^2(x) cos^2(4x) = 1/4 sin(12x)

8 sin(x) cos(x) cos^2(x) cos^2(4x) = 1/4 * sin(12x)

Уравнение сводится к:

8 sin(x) cos(x) cos^2(x) cos^2(4x) = 1/4 * sin(12x)

Таким образом, решение уравнения: 8 sin(x) cos(x) cos^2(x) cos^2(4x) = 1/4 * sin(12x)