Теория вероятности. Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел x1, x2, x3, ..., xn И их среднее арифмитическое равно х. Покажите, что сумма всех отклонений равна 0.
(х1-х) +(х2-х) +(х3-х) +... +(хn-x) =0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Среднее арифметическое набора чисел x1, x2, ..., xn равно x.
Тогда можно записать:
x = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Умножим обе части равенства на n:
n*x = x1 + x2 + ... + xn

Выразим каждый элемент числового ряда через его отклонение от среднего:
x1 = x - (x - x1)
x2 = x - (x - x2)
...
xn = x - (x - xn)

Подставим полученные выражения для x1, x2, ..., xn в уравнение:
n*x = x - (x - x1) + x - (x - x2) + ... + x - (x - xn)

Раскроем скобки:
n*x = nx - (x - x1 + x - x2 + ... + x - xn)

Раскроем скобки в сумме:
nx = nx - [nx - (x1 + x2 + ... + xn)]

Так как nx = x1 + x2 + ... + xn, то:
nx = nx - (n*x)

Таким образом, мы получаем:
n*x = nx - nx
nx = nx

Отсюда следует, что все отклонения от среднего арифметического сокращают друг друга и их сумма равна 0:
(x1 - x) + (x2 - x) + ... + (xn - x) = 0

Таким образом, сумма всех отклонений от среднего арифметического равна 0.