Найдите количество натуральных чисел к, не превосходящих 353500 и таких, что к во второй степени + к, делится нацело на 500

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти количество таких натуральных чисел к, нужно рассмотреть условие к^2 + к делится нацело на 500. То есть к^2 + к должно быть кратно 500.

Разложим 500 на простые множители: 500 = 2^2 5^3. Таким образом, к^2 + к должно быть кратно 2^2 5^3 = 100.

Теперь найдем все натуральные числа к, которые удовлетворяют условию:
к^2 + к ≡ 0 (mod 100)

Подставим к = 1, 2, 3, ... поочередно и найдем, при каких значениях к условие выполняется:
1^2 + 1 ≡ 2 (mod 100)
2^2 + 2 ≡ 6 (mod 100)
3^2 + 3 ≡ 12 (mod 100)
4^2 + 4 ≡ 20 (mod 100)
5^2 + 5 ≡ 30 (mod 100)
6^2 + 6 ≡ 42 (mod 100)
7^2 + 7 ≡ 56 (mod 100)
8^2 + 8 ≡ 72 (mod 100)
9^2 + 9 ≡ 90 (mod 100)
10^2 + 10 ≡ 10 (mod 100)
11^2 + 11 ≡ 32 (mod 100)
...

Продолжаем подставлять значения для к и находим, что условие выполняется для к = 10, 20, 30, 40, ..., 350.

Таким образом, количество натуральных чисел к, не превосходящих 353500 и удовлетворяющих условию, равно 35 (так как есть 35 десятков в интервале от 10 до 350).