Докажите что параллельный треугольник равнобедренного параллелограма подобен синусу окружности умноженный на тангенс альфа деленный на косинус площади квадрата плюс биссектриса угла тангенса косинуса

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим:

Параллелограмм как ABCD, где AB || CD и BC || ADПараллельный треугольник как A’B’C’, где A’B’ || C’D’ и A’C’ || B’D’Круг как O с радиусом rУгол, равный αСторону квадрата как a

Рассмотрим треугольники AOB и ABC, где О - центр окружности
Так как угол AOВ равен α, то sin(α) = AB / AO
Также, AB равно стороне квадрата a, а AO равно радиусу r, следовательно,
sin(α) = a / r

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’
Так как AB || A’B’ и BC || B’C’, то эти треугольники подобны
То есть AB / A’B’ = BC / B’C’ = AC / A’C’ = a / A’B’

Отсюда следует, что сторона A’B’ равна |AB| / sin(α)
A’B’ = a / sin(α)

Теперь рассмотрим косинус угла α
cos(α) = AB / AO
AB = a, AO = r, следовательно,
cos(α) = a / r

Теперь рассмотрим площадь квадрата, она равна a^2
Также, биссектриса угла α делит треугольник ABC на два равных прямоугольных треугольника со сторонами a / 2
Площадь одного такого треугольника равна (a / 2)^2 / 2 = a^2 / 8
Из двух треугольников площадь биссектрисы в ABC равна a^2 / 4

Таким образом, биссектриса угла α равна a / 2

Теперь подставим все наши результаты в формулу:
(sin(α) * tan(α)) / (cos(α) + b)

= (a / r * (a / r) / (a / r) ) / (a / r + a / 2)

= (a^2 / r^2) / (2a / r)

= (a^2 / r^2) * (r / 2a)

= 1 / 2

Таким образом, доказано, что параллельный треугольник равнобедренного параллелограмма подобен синусу окружности умноженному на тангенс угла α, деленному на косинус угла и полученное значение равно половине биссектрисы угла α.