Кто гений математики? Известно что a^2 + b^2 делится на ab + 1. Докажите, что при таком делении получается полный квадрат целого числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение.

Пусть a, b - целые числа.

Так как a^2 + b^2 делится на ab + 1, то a^2 + b^2 = k(ab + 1), где k - некоторое целое число.

Раскроем правую часть уравнения: a^2 + b^2 = kab + k

Выразим b из уравнения, преобразовав квадратное уравнение в соответствии с его корнями: b = ka +- √(k^2a^2 - 4(a^2 - 1)) / 2.

Так как a и b - целые числа, значит и √(k^2a^2 - 4(a^2 - 1)) - целое число, обозначим его за t.

Отсюда получаем, что b = ka + t или b = ka - t.

Теперь проверим, когда полученное выражение будет полным квадратом:

b = ka + t
b^2 = k^2a^2 + 2kat + t^2 = k(ka + t) + t^2 = k(b) + t^
Таким образом, если b = ka + t, то b^2 делится на b, то есть в этом случае получается полный квадрат.

b = ka - t
b^2 = k^2a^2 - 2kat + t^2 = k(ka - t) + t^2 = k(b) + t^
Аналогично, если b = ka - t, то b^2 делится на b, то есть в этом случае также получается полный квадрат.

Таким образом, при делении (a^2 + b^2) на (ab + 1) получается полный квадрат целого числа.